Revista Cuanta

26 de abril de 2023

Kristina Armitage/Revista Quanta

Escritor colaborador

26 de abril de 2023

La primera prueba que muchas personas alguna vez aprenden, al principio de la escuela secundaria, es la prueba del antiguo matemático griego Euclides de que hay infinitos números primos. Solo toma unas pocas líneas y no usa conceptos más complicados que los números enteros y la multiplicación.

Su prueba se basa en el hecho de que, si hubiera un número finito de primos, multiplicarlos todos juntos y sumar 1 implicaría la existencia de otro número primo. Esta contradicción implica que los primos deben ser infinitos.

Los matemáticos tienen un pasatiempo curiosamente popular: demostrarlo una y otra vez.

¿Por qué molestarse en hacer esto? Por un lado, es divertido. Más importante aún, "creo que la línea entre las matemáticas recreativas y las matemáticas serias es muy delgada", dijo William Gasarch, profesor de informática en la Universidad de Maryland y autor de una nueva prueba publicada en línea a principios de este año.

La demostración de Gasarch es sólo la última de una larga sucesión de nuevas demostraciones. En 2018, Romeo Meštrović de la Universidad de Montenegro compiló casi 200 pruebas del teorema de Euclides en un estudio histórico completo. De hecho, todo el campo de la teoría analítica de números, que utiliza cantidades que varían continuamente para estudiar los números enteros, posiblemente se originó en 1737, cuando el gigante matemático Leonhard Euler utilizó el hecho de que la serie infinita 1 + 1/2 + 1/3 + 1/ 4 + 1/5 + … diverge (lo que significa que no suma un número finito), para probar de nuevo que hay un número infinito de números primos.

Christian Elsholtz, matemático de la Universidad Tecnológica de Graz en Austria y autor de otra prueba reciente, dijo que en lugar de probar resultados duros a partir de muchos resultados más pequeños, lo que hacen los matemáticos cuando ensamblan lemas en teoremas de manera sistemática, hizo lo contrario. "Uso el último teorema de Fermat, que en realidad es un resultado no trivial. Y luego llego a la conclusión de un resultado muy simple". Trabajar hacia atrás de esta manera puede revelar conexiones ocultas entre diferentes áreas de las matemáticas, dijo.

"Existe una pequeña competencia para que la gente tenga la prueba más ridículamente difícil", dijo Andrew Granville, matemático de la Universidad de Montreal y autor de otras dos pruebas. "Tiene que ser divertido. Hacer algo técnicamente horrible no es el punto. La única forma en que quieres hacer algo difícil es que sea divertido".

Granville dijo que hay un punto serio en esta amistosa superación. Los investigadores no solo reciben preguntas que intentan resolver. "El proceso de creación en matemáticas no se trata de que simplemente le asigne una tarea a una máquina y la máquina la resuelva. Se trata de que alguien tome lo que ha hecho en el pasado y lo use para crear una técnica y crear una forma de desarrollar ideas". ."

Como dice Gasarch, "Todos los artículos pasan de una prueba nueva y linda de que los números primos son infinitos a matemáticas serias. Un día solo estás mirando los números primos y al día siguiente estás mirando las densidades de los cuadrados".

Reciba la revista Quanta en su bandeja de entrada

William Gasarch, profesor de la Universidad de Maryland, es el último de una larga lista de matemáticos en presentar una nueva prueba de que los números primos son infinitos.

Evan Golub

La demostración de Gasarch comienza con el hecho de que si coloreas los números enteros con un número finito de colores, siempre habrá un par de números con el mismo color cuya suma también es ese color, lo cual fue demostrado en 1916 por Issai Schur. Gasarch usó el teorema de Schur para mostrar que, si hubiera un número finito de primos, entonces existiría un cubo perfecto (un número entero, como 125, que es igual a algún otro número entero multiplicado por sí mismo tres veces) que es la suma de dos otros cubos perfectos. Pero en 1770, Euler había demostrado que no existe tal cubo: el caso n = 3 del último teorema de Fermat, que postula que no hay soluciones enteras para an + bn = cn para n mayor que 2. Basándose en esa contradicción, Gasarch razonó que debe haber un número infinito de números primos.

Una de las demostraciones de Granville de 2017 usó un teorema diferente al de Fermat. Granville se basó principalmente en un teorema de 1927 de Bartel Leendert van der Waerden, que mostraba que si coloreas los números enteros con un número finito de colores, siempre existen cadenas arbitrariamente largas de números enteros espaciados uniformemente con el mismo color. Al igual que Gasarch, Granville partió del supuesto de que los números primos son finitos. Luego usó el teorema de van der Waerden para encontrar una secuencia de cuatro cuadrados perfectos espaciados uniformemente y de colores idénticos. Pero Fermat había demostrado que tal secuencia no puede existir. ¡Contradicción! Dado que tal secuencia podría existir si hubiera un número finito de números primos, pero no puede existir, debe haber un número infinito de números primos. La prueba de Granville fue la segunda prueba principal reciente que se basó en el teorema de van der Waerden: Levent Alpöge, ahora un postdoctorado en la Universidad de Harvard, también había usado el resultado en un artículo de 2015, publicado cuando aún estaba en la universidad.

Granville es un admirador particular del artículo de Elsholtz, que también aplica el último teorema de Fermat y la suposición contrafactual de que solo hay un número finito de números primos. Al igual que Gasarch, Elsholtz incorporó el teorema de Schur, aunque de una forma algo diferente. Elsholtz también dio una segunda prueba utilizando un teorema de 1953 de Klaus Roth, que dice que los conjuntos de números enteros de un cierto tamaño deben contener grupos de tres números espaciados uniformemente.

Algunas preguntas matemáticas más profundas, e incluso prácticas, podrían responderse al desarrollar este trabajo. Por ejemplo, el cifrado de clave pública que se basa en la dificultad de factorizar números grandes sería muy fácil de descifrar si viviéramos en un mundo con un número finito de números primos. Elsholtz se pregunta si, por lo tanto, podría haber alguna conexión entre las pruebas de infinitos números primos y probar lo difícil que es descifrar tales esquemas de encriptación. Hay "alguna conexión débil con el teorema de Euclides", dijo Elsholtz. "Sería interesante ver las conexiones más profundas".

Granville dijo que las mejores matemáticas pueden surgir de extrañas combinaciones de diferentes áreas y temas y, a menudo, emergen después de que los matemáticos hayan pasado años pensando en problemas de nivel inferior pero divertidos. Está fascinado por el hecho de que temas aparentemente remotos puedan aplicarse a la teoría de números. En una encuesta reciente, Granville elogió la "elegancia escasa" de una prueba de 1955 de Hillel Furstenberg, que utilizó la topología de conjunto de puntos. Al igual que Alpöge, Furstenberg todavía estaba en la universidad cuando se publicó su demostración. Continuaría con una ilustre carrera en una variedad de disciplinas matemáticas.

Granville preguntó retóricamente si las nuevas pruebas del antiguo resultado de Euclid son "simplemente curiosidad o algo que tiene alguna importancia a largo plazo". Respondiendo a su propia pregunta, dijo: "No puedo decírtelo".

Escritor colaborador

26 de abril de 2023

Reciba la revista Quanta en su bandeja de entrada

Obtenga los aspectos más destacados de las noticias más importantes en su bandeja de entrada de correo electrónico

Quanta Magazine modera los comentarios para facilitar una conversación informada, sustantiva y civilizada. Se rechazarán los comentarios abusivos, profanos, de autopromoción, engañosos, incoherentes o fuera de tema. Los moderadores trabajan durante el horario comercial habitual (hora de Nueva York) y solo pueden aceptar comentarios escritos en inglés.